堆

堆(heap)是計(jì)算機(jī)科學(xué)中一類(lèi)特殊的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)的統(tǒng)稱，通常是一個(gè)可以被看做一棵樹(shù)的數(shù)組對(duì)象。

堆{k1,k2,ki,…,kn} (ki = k2i,ki = k2i+1)|(ki >= k2i,ki >= k2i+1), (i = 1,2,3,4...n/2)

關(guān)于堆：

• 堆中某個(gè)節(jié)點(diǎn)的值總是不大于或不小于其父節(jié)點(diǎn)的值；
• 堆總是一棵完全二叉樹(shù)（下面）。
• 將根節(jié)點(diǎn)最大的堆叫做最大堆或大根堆，根節(jié)點(diǎn)最小的堆叫做最小堆或小根堆。

完全二叉樹(shù)

說(shuō)到堆排序，就不能不提完全二叉樹(shù)，這些基本概念在網(wǎng)上到處都是，我摘了個(gè)最簡(jiǎn)單的。。

完全二叉樹(shù)：除最后一層外，每一層上的節(jié)點(diǎn)數(shù)均達(dá)到最大值；在最后一層上只缺少右邊的若干結(jié)點(diǎn)。

我自己總結(jié)認(rèn)為，正是因?yàn)橛邢旅鎯蓚€(gè)特點(diǎn)，

• 只允許最后一層有空缺結(jié)點(diǎn)且空缺在右邊，即葉子結(jié)點(diǎn)只能在層次最大的兩層上出現(xiàn)（存儲(chǔ)方式的規(guī)則性）；
• 若i>1，tree的雙親為tree[i div 2]（其父子結(jié)點(diǎn)值的規(guī)律性）；

才使得其進(jìn)行排序非常方便。

堆排序

堆排序求升序用大頂堆，求降序用小頂堆。

本例用求降序的小頂堆來(lái)解析。

堆排序步驟如下：

1、我們將數(shù)據(jù)（49、38、65、97、76、13、27、50）建立一個(gè)數(shù)組$arr；

2、用數(shù)組$arr建立一個(gè)小頂堆（主要步驟，會(huì)在代碼注釋里解釋?zhuān)聢D是用一個(gè)數(shù)組建立小頂堆的過(guò)程）；

3、將堆的根（最小的元素）與最后一個(gè)葉子交換，并將堆長(zhǎng)度減一，跳到第二步；

4、重復(fù)2-3步，直到堆中只有一個(gè)結(jié)點(diǎn)，排序完成。

堆排序的PHP實(shí)現(xiàn)

//因?yàn)槭菙?shù)組,下標(biāo)從0開(kāi)始,所以,下標(biāo)為n根結(jié)點(diǎn)的左子結(jié)點(diǎn)為2n+1,右子結(jié)點(diǎn)為2n+2; 
//初始化值,建立初始堆
$arr=array(49,38,65,97,76,13,27,50);
$arrSize=count($arr);

//將第一次排序抽出來(lái)，因?yàn)樽詈笠淮闻判虿恍枰俳粨Q值了。
buildHeap($arr,$arrSize);

for($i=$arrSize-1;$i>0;$i--){
  swap($arr,$i,0);
  $arrSize--;
  buildHeap($arr,$arrSize);  
}

//用數(shù)組建立最小堆
function buildHeap($arr,$arrSize){
  //計(jì)算出最開(kāi)始的下標(biāo)$index,如圖,為數(shù)字"97"所在位置,比較每一個(gè)子樹(shù)的父結(jié)點(diǎn)和子結(jié)點(diǎn),將最小值存入父結(jié)點(diǎn)中
  //從$index處對(duì)一個(gè)樹(shù)進(jìn)行循環(huán)比較,形成最小堆
  for($index=intval($arrSize/2)-1; $index>=0; $index--){
    //如果有左節(jié)點(diǎn),將其下標(biāo)存進(jìn)最小值$min
    if($index*2+1$arrSize){
      $min=$index*2+1;
      //如果有右子結(jié)點(diǎn),比較左右結(jié)點(diǎn)的大小,如果右子結(jié)點(diǎn)更小,將其結(jié)點(diǎn)的下標(biāo)記錄進(jìn)最小值$min
      if($index*2+2$arrSize){
        if($arr[$index*2+2]$arr[$min]){
          $min=$index*2+2;
        }
      }
      //將子結(jié)點(diǎn)中較小的和父結(jié)點(diǎn)比較,若子結(jié)點(diǎn)較小,與父結(jié)點(diǎn)交換位置,同時(shí)更新較小
      if($arr[$min]$arr[$index]){
        swap($arr,$min,$index);
      }  
    }
  }
}

//此函數(shù)用來(lái)交換下數(shù)組$arr中下標(biāo)為$one和$another的數(shù)據(jù)
function swap($arr,$one,$another){
  $tmp=$arr[$one];
  $arr[$one]=$arr[$another];
  $arr[$another]=$tmp;
}

下面是排序的最終結(jié)果：

堆用來(lái)進(jìn)行全排序，時(shí)間復(fù)雜度是O(nlogn)

而快排用來(lái)全排序，平均時(shí)間復(fù)雜度也是O(nlogn)

但堆排序可以用來(lái)求 TopK 時(shí)，堆的時(shí)間復(fù)雜度為O(Klog2(n)，因?yàn)樗恍枰M(jìn)行 K 輪排序即可。

以上就是本文的全部?jī)?nèi)容，希望對(duì)大家的學(xué)習(xí)有所幫助，也希望大家多多支持腳本之家。